2) сравниваются качественные признаки, число которых превышает 5
3) таблица сопряженности имеет размерность больше, чем 22
4) ожидаемое число в ячейке таблицы сопряженности меньше 5 (+)
Критерий χ² Пирсона предназначен для анализа частот качественных признаков в таблицах сопряжённости и основан на сравнении наблюдаемых и ожидаемых частот. Ожидаемая частота для ячейки рассчитывается с учётом итогов соответствующей строки и столбца: Eij = (итог строки × итог столбца) / общее число наблюдений. Для корректного использования критерия необходимо, чтобы ожидаемые частоты были достаточно большими.
Если ожидаемое число наблюдений в ячейке меньше 5, асимптотическое приближение распределения статистики к распределению χ² может быть неточным. Это повышает риск ошибочного вывода о наличии или отсутствии статистически значимой связи между признаками, поэтому в классической формулировке такое условие рассматривается как противопоказание к применению критерия Пирсона. В практической статистике также используют правило: ожидаемые частоты не должны быть меньше 1, а менее 5 — не более чем в 20% ячеек, однако в учебных тестах обычно применяется более строгое требование не менее 5 в каждой ячейке.
Независимость сравниваемых групп является, напротив, необходимой предпосылкой критерия, а не ограничением. Число категорий признака и размерность таблицы сами по себе не исключают применение χ², если выполнены требования к ожидаемым частотам и независимости наблюдений. При малых частотах используют точный критерий Фишера для таблиц 2×2, точные или Монте-Карло-методы для таблиц большей размерности либо объединяют клинически обоснованные категории.
| Ситуация | Возможность применения χ² Пирсона | Предпочтительный подход |
|---|---|---|
| Все ожидаемые частоты ≥ 5 | Критерий обычно применим | Стандартный расчёт χ² и p-значения |
| Есть ожидаемые частоты < 5 в небольшой доле ячеек | Применение требует осторожности | Проверка дополнительных правил: отсутствие частот < 1 и не более 20% ячеек с частотами < 5 |
| Ожидаемая частота < 1 или малые частоты занимают значительную долю таблицы | Стандартная аппроксимация χ² ненадёжна | Точный критерий или метод Монте-Карло |
| Таблица 2×2 с малыми ожидаемыми частотами | Обычный χ² нежелателен | Точный критерий Фишера; в отдельных случаях поправка Йейтса |
| Независимые выборки и категориальные признаки | Это необходимые условия применения | χ² Пирсона при соблюдении требований к частотам |
| Зависимые измерения у одних и тех же пациентов | Критерий Пирсона не является основным методом | Критерий Мак-Немара или другие методы для связанных выборок |
| Большая таблица сопряжённости при достаточных ожидаемых частотах | Применение возможно | χ² Пирсона с интерпретацией с учётом структуры категорий |
Таким образом, ключевым ограничением является не число сравниваемых признаков и не размер таблицы, а нарушение условий для расчёта ожидаемых частот. При малом объёме данных особенно важно учитывать клинический смысл объединения категорий, поскольку механическое укрупнение может изменить интерпретацию результата. Статистическую значимость следует оценивать вместе с величиной эффекта и доверительным интервалом, а не только по уровню p.