2) 10
3) 8
4) 4 (+)
В позиционной системе счисления основание определяет набор допустимых цифр: используются символы от 0 до p − 1, где p — основание системы. В записи 123 наибольшая цифра равна 3, поэтому основание должно быть как минимум на единицу больше неё: p ≥ 4. Следовательно, минимально подходящим является четверичное основание.
При основании 4 запись является корректной и имеет значение 1 × 42 + 2 × 41 + 3 × 40 = 27 в десятичной системе. В системах с меньшим основанием цифра 3 недопустима, поэтому такая запись не может быть интерпретирована как корректное число. Этот принцип используется в медицинской кибернетике при валидации кодов, представлении данных и контроле корректности цифровых записей.
| Основание системы | Допустимые цифры | Корректность записи 123 | Обоснование |
|---|---|---|---|
| 2 | 0–1 | Некорректна | Цифры 2 и 3 отсутствуют в алфавите системы |
| 3 | 0–2 | Некорректна | Цифра 3 недопустима |
| 4 | 0–3 | Корректна | Цифра 3 является максимальной допустимой; это минимальное подходящее основание |
| 5 | 0–4 | Корректна | Все цифры записи входят в алфавит системы |
| 8 | 0–7 | Корректна | Запись допустима, поскольку цифры 1, 2 и 3 меньше 8 |
| 10 | 0–9 | Корректна | Используется стандартный десятичный алфавит цифр |
| 16 | 0–9, A–F | Корректна | Цифровая часть записи полностью допустима в шестнадцатеричной системе |
Общее правило состоит в том, что минимальное основание равно максимальной цифре записи плюс единица. Основание 4 не является единственным возможным, но является наименьшим, при котором число 123 записано без нарушения правил. При программной обработке данных проверка допустимости цифр должна выполняться до преобразования или вычисления значения числа.