2) когда необходимо проверить гипотезу об однородности двух эмпирических законов распределения
3) проверки равенства средних значений в двух выборках
4) когда необходимо проверить принадлежность наблюдаемой выборки некоторому теоретическому закону распределения (+)
Критерий χ² Пирсона в данном случае используется как критерий согласия: он позволяет проверить, соответствует ли наблюдаемая выборка заданному теоретическому закону распределения. Нулевая гипотеза формулируется так: различия между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами обусловлены случайными колебаниями, а выборка принадлежит предполагаемой совокупности. Ожидаемая частота для каждой категории рассчитывается как Ei = n · pi, после чего вычисляется статистика χ² = Σ(Oi − Ei)²/Ei, где Oi — наблюдаемая, а Ei — теоретически ожидаемая частота.
Критерий применяют к категориальным или сгруппированным количественным данным: например, для оценки соответствия распределения результатов дозиметрических измерений, числа зарегистрированных событий радиационного контроля или результатов контроля качества предполагаемому нормальному, пуассоновскому либо иному закону. Число степеней свободы обычно равно k − 1, а при оценивании параметров теоретического распределения из самой выборки уменьшается на число оценённых параметров. Для корректности вывода наблюдения должны быть независимыми, а ожидаемые частоты — достаточно большими; малые категории объединяют.
Проверка равенства средних относится преимущественно к параметрическим методам, например к t-критерию, а ранговые данные анализируют непараметрическими ранговыми критериями. χ² также может применяться в таблицах сопряжённости для оценки однородности или независимости, однако в рассматриваемой формулировке его назначение — проверка согласия эмпирического распределения с теоретическим.
| Задача статистического анализа | Тип данных | Нулевая гипотеза | Основной метод | Ключевой результат |
|---|---|---|---|---|
| Проверка соответствия выборки теоретическому закону | Частоты по категориям или интервалам | Эмпирическое распределение согласуется с заданным законом | χ²-критерий согласия Пирсона | Сравнение наблюдаемых и ожидаемых частот |
| Сравнение распределений в двух или нескольких группах | Категориальные признаки в таблице сопряжённости | Распределения групп одинаковы | χ²-критерий однородности | Оценка различий структуры частот между группами |
| Проверка связи двух категориальных признаков | Совместные частоты признаков | Признаки статистически независимы | χ²-критерий независимости | Сопоставление наблюдаемых частот с ожидаемыми при независимости |
| Сравнение средних значений | Количественный признак | Средние значения в совокупностях равны | t-критерий или дисперсионный анализ | Разность средних и её статистическая значимость |
| Сравнение положения выборок при ненормальности | Порядковые или количественные данные | Распределения не различаются по ранговым характеристикам | U-критерий Манна—Уитни, критерий Вилкоксона | Сравнение рангов, а не частот по категориям |
| Оценка соответствия нормальному распределению | Непрерывные количественные измерения | Данные получены из нормальной совокупности | χ²-критерий согласия, критерии Шапиро—Уилка или Колмогорова—Смирнова | Выбор метода зависит от объёма выборки и способа задания распределения |
| Контроль редких событий | Счётные данные по интервалам времени или объёму наблюдений | Частоты соответствуют пуассоновскому закону | χ²-критерий согласия | Проверка адекватности модели случайного потока событий |
При интерпретации результата оценивают p-значение или сравнивают рассчитанное значение χ² с критическим при выбранном уровне значимости. Статистически значимое превышение свидетельствует о несогласии данных с предполагаемым законом, но само по себе не указывает, в каких категориях возникло расхождение. Для этого анализируют вклад отдельных слагаемых статистики и остатки. В задачах медицинской физики такой подход помогает проверять адекватность вероятностных моделей измерений и выявлять отклонения в работе систем контроля качества.