2) -ln(S)=αD+βD2-γD3
3) log(S)=αD2+βD
4) -ln(S)= (α+β)/D
Линейно-квадратичная модель описывает долю выживших клеток как S = exp(−αD−βD2), поэтому после логарифмирования получают −ln(S) = αD + βD2. Здесь D — поглощённая доза, а α и β — радиобиологические коэффициенты, характеризующие чувствительность клеточной популяции к облучению. Линейный и квадратичный члены имеют размерность, обеспечивающую безразмерность показателя −ln(S).
Коэффициент α связывают преимущественно с возникновением летальных повреждений после одного акта поглощения энергии, тогда как β описывает накопление и взаимодействие двух сублетальных повреждений. При увеличении дозы вклад квадратичного компонента возрастает, что отражается формированием плеча кривой выживаемости на малых и средних дозах и её последующим более крутым снижением. Модель является феноменологической: она не сводит клеточную гибель к единственному типу повреждения, а математически описывает суммарный радиобиологический эффект.
Практическое значение модели особенно велико при планировании фракционированной лучевой терапии. Отношение α/β характеризует чувствительность ткани к изменению размера фракции: ткани с высоким α/β менее чувствительны к фракционированию, а ткани с низким α/β сильнее реагируют на увеличение разовой дозы. Именно на этой основе рассчитывают биологически эффективную дозу и сопоставляют различные режимы облучения.
| Компонент или параметр | Радиобиологическое значение | Клиническая интерпретация |
|---|---|---|
| αD | Линейная зависимость клеточной гибели от дозы; условно соответствует летальному повреждению после одного события | Вклад относительно мало зависит от размера фракции |
| βD2 | Квадратичная зависимость, связанная с взаимодействием двух сублетальных повреждений | Вклад существенно уменьшается при эффективном восстановлении повреждений между фракциями |
| Коэффициент α | Определяет начальный наклон кривой выживаемости | Чем выше α, тем выше радиочувствительность при малых дозах |
| Коэффициент β | Определяет выраженность квадратичного компонента и плеча кривой | Влияет на зависимость эффекта от размера разовой фракции |
| Отношение α/β | Доза, при которой линейный и квадратичный вклады равны | Высокие значения типичны для ранних реакций и многих опухолей; низкие — для поздно реагирующих тканей |
| Фракционирование | Разделение суммарной дозы на отдельные фракции с интервалами для репарации | Позволяет снизить позднюю токсичность нормальных тканей при сохранении опухолевого эффекта |
| Ограничения модели | Наиболее применима для стандартных и умеренно гипофракционированных режимов | При экстремально высоких дозах за фракцию необходима осторожная интерпретация и учёт дополнительных биологических факторов |
Таким образом, квадратичный член не является дополнительной поправкой, а составляет фундаментальную часть модели клеточной выживаемости. В клинической радиотерапии модель позволяет количественно оценивать влияние дозы и фракционирования на опухоль и нормальные ткани. На её основе используют показатель BED: BED = nd[1 + d/(α/β)], где n — число фракций, а d — доза за фракцию. Различия в α/β помогают выбирать режим лечения с оптимальным соотношением эффективности и риска осложнений.