2) среднеквадратичное отклонение (+)
3) минимальное и максимальное значения
4) параметры закона распределения
Пусть показатель X имеет нормальное распределение N(μ, σ²), а к каждому его значению прибавляют постоянную величину c: Y = X + c. Тогда новое распределение также будет нормальным: Y ~ N(μ + c, σ²). Среднее значение и медиана сместятся на c, однако расстояния между отдельными наблюдениями, их вариабельность и среднеквадратичное отклонение останутся прежними.
Среднеквадратичное отклонение характеризует не положение распределения на числовой оси, а степень рассеяния значений относительно среднего. Поэтому одинаковое аддитивное смещение всех результатов, например поправка на систематический калибровочный сдвиг, не изменяет стандартное отклонение. Варианты с минимальным и максимальным значениями неверны для конечной выборки: оба экстремума также изменяются на величину c. Кроме того, параметры нормального закона не сохраняются полностью, поскольку параметр положения μ меняется, тогда как параметр масштаба σ остаётся неизменным.
В медицинской кибернетике этот принцип используется при анализе лабораторных и физиологических данных после устранения постоянной систематической погрешности. Аддитивная коррекция меняет абсолютный уровень показателя, но не его дисперсионные характеристики и форму распределения. При переносе диагностических порогов на новую шкалу необходимо учитывать такое же смещение, иначе возможно ошибочное отнесение пациента к патологической или референсной группе.
| Характеристика | До преобразования | После преобразования Y = X + c | Изменение | Практическое значение |
|---|---|---|---|---|
| Среднее значение | μ | μ + c | Смещается на c | Меняется абсолютный уровень показателя |
| Медиана и мода | Центральное значение распределения | Каждая величина увеличивается на c | Смещаются на c | Форма симметричного распределения не меняется |
| Среднеквадратичное отклонение | σ | σ | Не изменяется | Сохраняется вариабельность показателя; это правильный ответ |
| Дисперсия | σ² | σ² | Не изменяется | Сохраняется степень рассеяния наблюдений |
| Выборочные минимум и максимум | xmin и xmax | xmin + c и xmax + c | Оба смещаются на c | Экстремальные значения не являются инвариантными к сдвигу |
| Параметры нормального закона | μ, σ² | μ + c, σ² | Меняется μ, сохраняется σ² | Нельзя считать неизменными оба параметра распределения |
Аддитивное преобразование является преобразованием положения и не влияет на форму нормального распределения. Инвариантность стандартного отклонения позволяет сопоставлять разброс данных до и после постоянной коррекции измерений. Для нормального распределения теоретические минимальное и максимальное значения не ограничены, поэтому в прикладном анализе под ними обычно понимают экстремумы конкретной выборки.