2) гистограммой частот
3) доверительным интервалом
4) средним значением
Метод наименьших квадратов применяют для построения математической модели временного ряда в виде аналитической функции времени: линейной, полиномиальной, экспоненциальной, гармонической и др. Параметры функции подбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от расчетных была минимальной: Q = Σ(yi − f(ti; θ))2 → min. В результате получают сглаженную зависимость, отражающую основную тенденцию ряда и пригодную для интерполяции или прогнозирования.
Квадратичная форма критерия усиливает влияние крупных ошибок, поэтому оцененная функция стремится максимально близко описать наблюдаемые значения. В медицинской кибернетике такой подход используют при анализе динамики физиологических показателей, результатов мониторинга, заболеваемости и других процессов, изменяющихся во времени. При наличии сезонности, тренда или автокорреляции модель дополняют соответствующими компонентами либо применяют взвешенный или обобщенный метод наименьших квадратов.
Гистограмма частот описывает распределение значений, но не задает их зависимость от времени. Доверительный интервал характеризует неопределенность оценки, а не аппроксимирует сам ряд. Среднее значение может быть результатом аппроксимации постоянной функцией, однако оно не отражает временную структуру процесса. Поэтому наиболее точным является вариант, указывающий на аппроксимацию аналитической функцией.
| Подход | Что описывает | Роль во временном анализе | Связь с методом наименьших квадратов |
|---|---|---|---|
| Аналитическая функция | Функциональную зависимость показателя от времени | Выделение тренда, сезонности и прогнозирование | Параметры функции оцениваются путем минимизации суммы квадратов остатков |
| Линейная модель | Постоянную скорость изменения показателя | Оценка восходящего или нисходящего тренда | Частный случай регрессионной аппроксимации |
| Полиномиальная модель | Нелинейную, криволинейную динамику | Описание ускорения, замедления или смены тенденции | Коэффициенты полинома определяются методом наименьших квадратов |
| Гистограмма частот | Распределение наблюдений по интервалам значений | Оценка формы распределения, асимметрии и выбросов | Не моделирует последовательную зависимость от времени |
| Доверительный интервал | Диапазон статистической неопределенности оценки | Оценка точности параметров или прогноза | Может рассчитываться после подгонки модели, но не заменяет ее |
| Среднее значение | Центральный уровень совокупности наблюдений | Формирование базового уровня без учета динамики | Соответствует аппроксимации постоянной функцией, но не описывает тренд |
Качество аппроксимации оценивают по остаткам, коэффициенту детерминации и ошибкам прогноза. Систематическая структура остатков указывает на то, что выбранная аналитическая функция недостаточно полно описывает процесс. В клинических задачах важно дополнительно проверять устойчивость модели и соответствие ее параметров биологическому смыслу. Таким образом, метод наименьших квадратов является инструментом оценки параметров функциональной модели временного ряда.