2) N = N0*log(λ+t)
3) N = N0*eλt
4) N = N0*e–λt (+)
Правильное выражение описывает экспоненциальный закон радиоактивного распада: N(t) = N0e−λt. Здесь N0 — исходное число радиоактивных ядер, N(t) — число ядер, сохранившихся через время t, а λ — постоянная распада. Закон следует из дифференциального уравнения dN/dt = −λN: скорость уменьшения числа ядер прямо пропорциональна их текущему количеству.
Экспоненциальный характер означает, что за одинаковые промежутки времени распадается одинаковая доля, а не одинаковое абсолютное число ядер. При t = 0 значение равно N0, а при увеличении времени оно монотонно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Положительный показатель степени соответствовал бы экспоненциальному росту, тогда как логарифмические зависимости не описывают самопроизвольное превращение нестабильных ядер.
С постоянной распада связаны основные дозиметрические и радионуклидные характеристики: период полураспада T1/2 = ln 2/λ и среднее время жизни τ = 1/λ. Активность источника также убывает экспоненциально: A(t) = A0e−λt, поскольку A = λN. Эти зависимости используются при расчёте времени исследования, активности радиофармпрепарата и радиационной нагрузки пациента.
| Параметр | Формула | Медицинское и физическое значение |
|---|---|---|
| Число нераспавшихся ядер | N(t) = N0e−λt | Показывает, какая доля радионуклида сохраняется во времени. |
| Активность источника | A(t) = λN(t) = A0e−λt | Число распадов в единицу времени; измеряется в беккерелях. |
| Постоянная распада | λ = const | Вероятность распада ядра за единицу времени; определяется природой радионуклида. |
| Период полураспада | T1/2 = ln 2/λ | Время, за которое число ядер или активность уменьшается вдвое. |
| Среднее время жизни | τ = 1/λ | Средняя продолжительность существования радиоактивного ядра до распада. |
| Эффективный период полувыведения | 1/Tэфф = 1/Tфиз + 1/Tбиол | Учитывает одновременно физический распад и биологическое выведение радиофармпрепарата. |
Радиоактивный распад является статистическим процессом на уровне отдельного ядра, но подчиняется строго определённому закону для большой совокупности ядер. Период полураспада не зависит от исходной активности и количества вещества. В радионуклидной диагностике необходимо различать физический распад и биологическое удаление препарата из организма. Совместное действие этих факторов определяет фактическую продолжительность излучения пациента.