2) равен нулю (+)
3) равен единице
4) меньше нуля
Для нормального распределения характерна строгая симметрия плотности вероятности относительно среднего значения. Поэтому отклонения наблюдений в левую и правую стороны от среднего взаимно компенсируются, а третий центральный момент равен нулю. Коэффициент асимметрии рассчитывают как γ1 = μ3/σ3, где μ3 — третий центральный момент, а σ — стандартное отклонение; следовательно, при нормальном распределении γ1 = 0.
Нулевая асимметрия означает отсутствие преимущественно вытянутого хвоста влево или вправо. Для идеального нормального распределения совпадают среднее арифметическое, медиана и мода, а распределение частот по обе стороны от центра зеркально симметрично. При анализе выборки расчетный коэффициент может быть незначительно отличен от нуля из-за случайных колебаний, поэтому нормальность оценивают комплексно, с учетом графического анализа и статистических критериев.
| Тип распределения или ситуация | Коэффициент асимметрии | Соотношение центральных характеристик | Особенности формы | Интерпретация |
|---|---|---|---|---|
| Нормальное распределение | γ1 = 0 | Среднее = медиана = мода | Симметричные левый и правый хвосты | Теоретически идеальная симметрия |
| Положительная асимметрия | γ1 > 0 | Обычно среднее > медиана > мода | Удлиненный хвост вправо | Небольшое число больших значений смещает среднее вверх |
| Отрицательная асимметрия | γ1 < 0 | Обычно среднее < медианы < моды | Удлиненный хвост влево | Небольшое число малых значений смещает среднее вниз |
| Симметричное, но не обязательно нормальное распределение | γ1 = 0 | Среднее и медиана могут совпадать | Форма, куртозис и тяжесть хвостов могут отличаться от нормальных | Нулевая асимметрия сама по себе не доказывает нормальность |
| Выборочная оценка при почти симметричных данных | γ1 близок к 0 | Центральные характеристики близки | Небольшие случайные отклонения от симметрии | Требуется оценка статистической значимости и объема выборки |
| Выраженная асимметрия | |γ1| существенно больше 0 | Среднее заметно отличается от медианы | Один из хвостов значительно длиннее | Возможны выбросы, неоднородность совокупности или ограничение шкалы измерения |
В прикладной медицинской статистике коэффициент асимметрии используют как характеристику формы распределения и для выбора методов анализа. Для проверки соответствия нормальному закону дополнительно применяют гистограмму, Q–Q-график и критерии Шапиро—Уилка или Андерсона—Дарлинга. При выраженной асимметрии предпочтительны медиана и межквартильный размах либо преобразование данных, например логарифмирование, если оно обосновано клинически.